В работе предлагается математический формализм для описания кинематики, где ускорение описывается полиномами от времени высших порядков. Обобщенная система эволюционных уравнений имеет треугольную форму, образует последовательность полиномов Аппеля и допускает матричное представление с помощью матриц Паскаля. Производная по времени от ускорения, рывок, описывается полиномом третьей степени. Он обусловлен сдвигом по времени трех начальных точек. Для высших порядков эта формула отличается только числом начальных точек на оси времени. Эволюция коэффициентов полиномов генерируется экспонентой от нильпотентной матрицы и образует ряд Аппеля. При соответствующем выборе начальных данных последовательность полиномов переходит в полиномы Эрмита. Предложенный метод описания носит общий характер и применим в различных моделях физики и в вычислительной математике.
Evolution equations for coefficients of polynomials in generalized kinematics
We suggest a mathematical tool for the kinematics of higher order accelerations. The tool is equipped with Riccati and Appell differential equations, Pascal matrices and elements of the generalized trigonometry. Evolution equations for the coefficients of the polynomials are derived. These equations are generated by exponential functions of the nilpotent matrices. The polynoials form the Appell sequences. The first example, the jerk kinematics, is described by the third degree polynomial of time which is formed under action of the shifts of three points on the axis of time. In general, the number of points is equal to the degree of the pivot polinomial. Under a special choose of the initial data the set of polynomials describing the higher order accelerations are reduced to the set of Hermite polynomials. The method is quite general and can be applied in different models of mathematical physics.