Осциллонами принято называть долгоживущие локализованные в пространстве и осциллирующие во времени решения нелинейного уравнения Кляйна-Гордона-Фока. В настоящем докладе сформулирован многомасштабный вариационный метод анализа осциллонов, свободный от сингулярностей, характерных для всех ранее предлагавшихся вариационных подходов. Наш монохроматический вариационный анзац дает отличное согласие с численными результатами в модели с симметричным вакуумом. Что касается модели с нарушенной симметрией (уравнение $φ^{4}$), то численно полученная зависимость энергии от частоты в этой модели распадается на отдельные сегменты частот $ω_{n+1}<ω<ω_{n}$. В интервале ($ω_{n+1},ω_{n}$) стоячая волна испускает излучение на $n$-й гармонике осциллона ($n=2,3,...$). Вариационное приближение с использованием первой, второй и нулевой гармоники позволяет достаточно точно описать осциллон с частотами в интервале ($ω_{3},ω_{2}$), но становится неудовлетворительным по мере того, как $ω$ покидает этот интервал.
Variational formalism for oscillons and breathers
Oscillons are long-lived localised pulsating states in the nonlinear Klein-Gordon equations. We formulate a multiscale variational method for the analysis of oscillons that is free from singularities that marred all previously proposed variational techniques. For the model with a symmetric vacuum, a single-harmonic variational Ansatz provides an excellent agreement with the numerical results. For a model with broken symmetry (the $φ^{4}$ equation), the numerical analysis reveals that the energy-frequency diagram of the standing wave is fragmented into disjoint segments with frequencies $ω_{n+1}<ω<ω_{n}$. In the interval ($ω_{n+1},ω_{n}$), the wave develops small-amplitude wings consisting of the $n$-th harmonic radiation ($n=2,3,...$). The variational approximation involving the first, zeroth and second harmonic components provides an accurate description of the oscillon with the frequency in ($ω_{3},ω_{2}$), but breaks down as $ω$ falls out of that interval.