\documentclass[12pt,a4paper]{panl}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{cite}
\usepackage{wrapfig}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{longtable}
\usepackage{rotating}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multirow}
\usepackage[english,russian]{babel}
%\usepackage[bookmarksopen]{hyperref}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx}

\usepackage{epsfig}
\usepackage{multirow}

% \usepackage[cp1251]{inputenc}

 \usepackage[russian,english]{babel}

%\originalTeX
%\russianTeX
\newcommand{\ba}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\ea}{\end{eqnarray}}

 \def  \Li3 { {\rm {Li}_3}  }
 \def  \li2  { { \rm {Li}_2 } }
\def  \poly4  { { \rm {Li}_4 } }
\def \Imm { \mbox{\rm Im} }
\def \Ree { \mbox{\rm Re} }

\DeclareMathOperator{\atanh}{arctanh}

\graphicspath{{./Figures-Solovtsova-2025/}}

\usepackage{craycol,color}

\begin{document}
% Journal sections (see http://pkp.jinr.ru/index.php/PEPAN_LETTERS/about/editorialPolicies#focusAndScope)
%\issuearea{Physics of Elementary Particles and Atomic Nuclei. Theory}
% or in Russian
%\issuearea{ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ И АТОМНОГО ЯДРА. ТЕОРИЯ}

\title{Twelfth order corrections to lepton
anomalies due to vacuum  polarization insertions by lepton loops  within the Mellin--Barnes representation
 \\
Поправки 12-го порядка к лептонным аномалиям, обусловленные вставками поляризации вакуума лептонными петлями в рамках
представления Меллина--Барнса}
\maketitle
\authors{O.\,Solovtsova$^{a,b,}$\footnote{E-mail: olsol@theor.jinr.ru},
V.\,Lashkevich$^{b,}$\footnote{E-mail: lashkevich@gstu.by}
L.\,Kaptari$^{a,}$\footnote{E-mail: E-mail: kaptari@theor.jinr.ru}
}
\setcounter{footnote}{0}
\authors{О.П.\,Соловцова$^{a,b,}$\footnote{E-mail: olsol@theor.jinr.ru},
В.И.\,Лашкевич$^{b,}$\footnote{E-mail: E-mail: lashkevich@gstu.by}
Л.П.\,Каптарь$^{a,}$\footnote{E-mail: E-mail: kaptari@theor.jinr.ru}
}
\from{$^{a}$\,Joint Institute for Nuclear Research, Dubna}
\from{$^{a}$\,Объединенный институт ядерных исследований, Дубна}
\from{$^{b}$\,Gomel State Technical University,  Gomel, Belarus}
\from{$^{b}$\,Гомельский государственный технический университет, Гомель, Беларусь}


\begin{abstract}
% Russian translation of the abstract

Получены явные аналитические выражения для электромагнитных
поправок к аномальным магнитным моментам $a_L$ лептонов ($L=e, ~\mu
$ и $\tau$) в двенадцатом порядке разложения  по электрическому зарядуя $e$.  Рассматривается  фейнмановская диаграмма со вставками поляризационного
оператора из пяти одинаковых лептонных петель, образованных
лептонами  сорта  $\ell$  отличного от исходного лептона $L$,
$\ell\neq L$. Подход основан на последовательном применении
дисперсионных соотношений для поляризованного оператора и на
преобразовании Меллина--Барнса для пропагаторов массивных частиц.
%
Точные выражения далее раскладываются в ряд по отношению  лептонных масс $r=m_\ell/m_L$
и детально исследуются   пределы как малых,   $r\to 0$,  так и больших  ~$r\to \infty$, значений $r$.
%
Показано, что для реальных лептонов (электрона, мюона и $\tau$-лептона) расчет по точным
выражениям можно заменить на  вычисления по более простым приближенным формулам с учетом числа членов  в зависимости
от требуемой точности.
\\

The twelfth  order of electromagnetic corrections to the lepton ($L=e, ~\mu
$ and $\tau$)  anomaly $a_L$ due to Feynman diagrams with insertions of the vacuum polarization operator
consisting on five  identical lepton loops  $\ell$   are obtained
in   analytical explicit form. The approach
is based on the consecutive application of dispersion relations for the vacuum polarization operator
and on the Mellin--Barnes transform for the propagators of massive particles. Detailed investigations of
the asymptotical expression in the region of small $r\to 0$ and large $r\to\infty$
values of the lepton mass ratio $r=m_\ell/m_L$  are performed keeping
a reasonable number of terms in dependence on the required accuracy. It is argued that
for the values of $r$ corresponding to real existing leptons, the simpler approximate formulae assures
rather high accuracies in numerical calculations.
\end{abstract}
\vspace*{6pt}

\noindent
PACS: {13.40.Em, 12.20.Ds, 14.60.Ef}

\section*{Введение} \label{sec:intro}

Хорошо  известно, что взаимодействие заряженных лептонов $L$ с фотонами приводит к
сдвигу гиромагнитного отношения $g_L$ от значения  равного 2,
следующего из уравнения Дирака для заряженной частицы со спином $1/2$~\cite{dirac}. Величина этого  сдвига
определяется аномальным магнитным моментом лептона (лептонной аномалией) и характеризуется величиной
$a_L=(g_L -2)/2$.
%
Выражение для лидирующей поправки к аномальному моменту электрона было получено ещё в 1948 году Ю.~Швингером,
$a_e=\alpha/(2\pi) \simeq 0.001161$, где  $\alpha=e^2/(4\pi)$ есть постоянная тонкой структуры.
%
Теоретические  и экспериментальные
исследования лептонной аномалии, несмотря на   малость $a_L$, играют важную роль при решении
фундаментальных вопросов физики элементарных частиц~\cite{Jegerlehner:2017gek,Aoyama:2019ryr}. Это связано с
тем, что измерения $a_L$  для электрона
и мюона проведены с чрезвычайно высокой точностью  (в настоящее время относительная точность
  $\sim 10^{-10}$ для  $a_e$~\cite{Fan:2022eto} и $\sim 10^{-7}$ для $a_\mu$~\cite{Muong-2:2025xyk})
и это накладывает соответствующие требования к
теоретическим расчётам, см.  недавние обзоры  \cite{Aliberti:2025beg,Gabrielse:2025jep} и ссылки в них.

В рамках Стандартной Модели поправки  к $a_L$ имеют квантовоэлектродинамическую, электрослабую  и адронную природу.
Высокоточные численные расчёты электродинамических поправок, включающие всевозможные взаимодействия лептонов с фотонами в рассматриваемом порядке, затрагивают  вычисления огромного числа диаграмм Фейнмана и, соответственно, требуют значительных компьютерных ресурсов, разработки  специальных алгоритмов и тщательной независимой проверки численных результатов,  как пример,  см. работы~\cite{Laporta2000,LaportaPLB,Volkov:2024yzc,Aoyama:2024aly}. В связи с этим представляет интерес выделить хотя бы  подкласс  диаграмм, для которых удаётся провести расчёты в аналитическом, замкнутом виде,
что позволит провести прямое сравнение  с соответствующими численными расчётами. К такому подклассу относятся диаграммы со вставками фотонного поляризационного оператора, состоящего из лептонных петель. Особый интерес представляют   так называемые, диаграммы `пузырькового' типа, когда все  петли состоят  только из лептонов без дополнительных фотонных линий. Расчёты по точным формулам обеспечат нахождение численных значений интересующих вкладов в $a_L$ с любой наперед заданной точностью и сравнить с уже имеющимися чисто численными расчетами, а также получение более простых выражений в виде разложений по отношению лептонных масс с контролируемой точностью.

В работе~\cite{Aguilar:2008qj}, основываясь на интегральном представлении Меллина--Барнса, рассматривалась задача о нахождении аналитических выражений  для поправок к  $a_\mu$ от диаграмм `пузырькового' типа в виде разложений по отношению масс петлевых лептонов $\ell$    к массе внешнего лептона $L$ (мюона). Обобщение подхода~\cite{Aguilar:2008qj}   для случая
любого заряженного лептона и, более того,  для любого значения  отношений лептонных масс,  $0 <\,r=m_\ell/m_L\, <\, \infty$, было представлено в~\cite{Solovtsova23}.

Настоящая работа является дальнейшим развитием и применением подхода \cite{Aguilar:2008qj,Solovtsova23} при нахождении  аналитических выражений для поправок к $a_L$ более высокого порядка по сравнению с поправками, полученными в работах~\cite{Solovtsova-Vesti,Solovtsova-2024,Solovtsova-2024-31,Solovtsova-2024-13}.
Мы исследуем вклады от диаграмм со вставками в поляризационный
оператор  из пяти лептонных петель,  образованных
лептонами  сорта  $\ell$  отличного от исходного,
$\ell\neq L$, и подробнее останавливаясь на случае, пяти одинаковых лептонных петель (см. Рис.~\ref{Fig-5-1}).
Впервые будут получены как точные, так и приближённые аналитические выражения при малых,   $r\to 0$,  а также и при больших  ~$r\to \infty$, значениях $r$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  FIGURE - 1  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[hbt]
 \centering
\includegraphics[width=6.5cm,clip]{Fig1_Solovtsova.eps}
\caption{Диаграмма,  дающая вклад в поправку двенадцатого порядка в
аномальный магнитный момент лептона $L$, в случае, когда все лептоны в
петлях одного сорта. Диаграмма включает также случай $\ell = L$.}
\label{Fig-5-1}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% END  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Аналитические расчеты}\label{glava2}

Нахождение точных выражений  для электромагнитных поправок от диаграмм с $n$ замкнутыми петлями, $p$ из которых  образованы лептонами сорта $L$, а $j$ -- лептонами сорта $\ell$, в рамках подхода, использующего преобразование Меллина--Барнса, детально разобрано в работе \cite{Solovtsova23}.
Исходное выражение имеет вид
 \begin{equation}
a_L(p,j)=\frac{\alpha}{\pi} \frac{1}{2\pi i}F_{(p,j)}
\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} dz \;
 \left( \frac{4m_{\ell}^2}{m_L^2}\right)^{-z} \Gamma(z)\Gamma(1-z)
\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{p}\Omega_p(z)
\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{j}R_j(z),
 \label{fin1}
\end{equation}

   \vskip 0.2cm
   \noindent
где
$F_{(p,j)} =(-1)^{p+j+1} C_{p+j}^p\;$, а $C_{p+j}^p$ -- биномиальные
коэффициенты,  $c$ - любое число  из интервала $a < \Ree \, z < b$, в
котором подынтегральная функция  (\ref{fin1}) аналитична.
Меллиновские моменты $\Omega_p(z)$ и $R_j(z)$ определяются
поляризационными операторами $\Pi^{(L)}$ и $\Pi^{(\ell)}$ согласно
выражениям
\ba && \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^p\Omega_p(z)=
  \int_0^1 dx \; x^{2z} (1-x)^{1-z}
  \left[ \Pi^{(L)} \left( -\frac{x^2 }{1-x}m_L^2  \right)
  \right ]^p , \label{Omp1}
  \\[0.2cm] &&
\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^j R_j(z)= \int_0^\infty
\frac{dy}{y}\left( \frac{4m_{\ell}^2}{y}\right)^z \frac 1\pi \Imm
\left[ \Pi^{(\ell)} (y)\right ]^j \label{rjj1}. \ea
%
Явный вид поляризационных операторов $\Pi^{(L,\ell)}$  в формулах
(\ref{Omp1}) и (\ref{rjj1}) хорошо известен, см.~\cite{Aguilar:2008qj,Solovtsova-2024-13}.

В литературе общепринято классифицировать
электродинамические вклады в аномальный магнитный момент $a_L$  в
зависимости от отношения  $r=m_\ell/m_L$, выделяя при этом масс-независимый вклад $A_1$
и масс-зависимые $A_2$ и $A_3$,
каждый из которых представляется в виде
разложения по постоянной тонкой структуры $\alpha$ как:
(см., например,~\cite{review-2021})
\begin{equation}
 A_1(m_L/m_L)= \sum_{i=1} A_1^{(2i)}\left(\frac\alpha\pi
\right)^i \;, ~~ A_{2}\left(
{m_{\ell}}/{m_L}\right ) = \sum_{i=2}
A_{2}^{(2i)}\left(\frac\alpha\pi \right)^i ~~{\text{и~т.д.} }\; ~~~~~~
\label{A5}
\end{equation}
%
Отметим, что лидирующей  поправке (швингеровский член) соответствует коэффициент $A_1^{(2)}=1/2$.
Коэффициент $A_3$ относится к случаю когда все три лептона разные и зависит от двух отношений масс $r_1={m_{\ell_1}}/{m_L}$ и $r_2={m_{\ell_2}}/{m_L}$.

Коэффициент разложения, определяющий вклад в
аномальный магнитный момент лептона $L$ от поляризации вакуума
пятью одинаковыми лептонными петлями
  $a_{L}(0,5) =
A_{2}^{(12),5\ell }  \left( {\alpha}/{\pi} \right)^6$ (где введенный дополнительный индекс $``5\ell "$ указывает непосредственно на
конкретный тип поляризационного оператора,
см.~Рис.~\ref{Fig-5-1}) определяется  меллиновскими  моментами $\Omega_0(z)$ и $R_5(z)$. После подстановки
явных выражений для $\Omega_0(z)$ и $R_5(z)$ в исходный интеграл (\ref{fin1}) и несложных преобразований, получаем
\begin{equation} \label{A5-F}
A_{2}^{(12),5 \ell}\left(
{m_{\ell}}/{m_L}\right )=\frac{1}{2\pi
i}\int\limits_{c-i\infty}^{c+i\infty} \left( \frac{4m_{\ell}^2}{m_L^2}\right)^{-z}{\cal F} (z) \;dz,
\end{equation}
где подынтегральная функция ${\cal F} (z)$ имеет вид
\begin{eqnarray}
\label{F}
&&{\cal F} (z)=
\left[\frac{5}{6561}\frac{N_1(z)}{Q_1(z)}+\frac{10}{27}
\frac{N_2(z)}{Q_1(z)}\left(2 \psi^{(1)}(z)-\frac{\pi ^2}{3} \right)
+\frac{50}{3} N_3(z)(1+z)^2 \times \right. ~~ \nonumber\\
&&  \left.\left(6(\psi^{(1)}(z))^2
 +\psi^{(3)}(z)-2\pi^2\psi^{(1)}(z)
+\frac{\;\pi^4}{10} \right)\right] \frac{\pi
^2(1-z)}{Q_2(z)(1+z)(2+z)\sin^2(\pi z)}. \nonumber
\\
\end{eqnarray}
%   \vskip 0.2cm
%   \noindent
Здесь $\psi^{(k)}(z)$ -- это полигамма-функция $k$-го порядка ($k=1,~2,~3$) и для краткости записи введены обозначения
   \noindent
\begin{eqnarray}
&&N_1(z)=3362591232+34462877976 z-7715002446 z^2-112423073115
z^3\nonumber \\
 &&~~~~~~~~~
-106919635274 z^4+6563589052 z^5+78097655768 z^6\nonumber \\
 &&~~~~~~~~~+ 65706605267
z^7
 +29226969024 z^8+8053533108 z^9\nonumber \\
 &&~~~~~~~~~+1418298368 z^{10}+155629568
z^{11}+9699328 z^{12}+262144 z^{13} ,\nonumber
\end{eqnarray}
   \vskip -0.4cm
   \noindent
\begin{eqnarray}
&&N_2(z)=80208000+63155640 z-287700558 z^2-571876945 z^3\nonumber \\
 &&~~~~~~~~~-358461343
z^4
+21115161 z^5+156212628 z^6+100205115 z^7\nonumber \\
 &&~~~~~~~~~+33458487 z^8+ 6686149
z^9
+804130 z^{10}+53760 z^{11}+1536 z^{12}\nonumber,
 \\
 && N_3(z)=5005+4416 z+1389 z^2+186 z^3+9 z^4;\nonumber
 \\ [0.2cm]
&& Q_1(z)=z (1+z) (2+z) (3+z) (4+z) (5+z)\label{Q2} \; ,
\nonumber
 \\
&& Q_2(z)=(1+2 z) (3+2 z) (5+2 z) (7+2 z) (9+2 z)
(11+2 z) (13+2 z)
\nonumber
 \\
&& ~~~~~~~~  \times
(15+2 z)\label{Q3}. \nonumber
\end{eqnarray}

Очевидно, что  подынтегральная функция в
(\ref{A5-F})  сингулярна в комплексной плоскости переменной $z$  с
многочисленными полюсами различной кратности, обусловленными
знаменателями в ${\cal F}(z)$ и  сингулярностями   функций
 $\psi^{(k)}(z)$, $1/\sin^2(\pi z)$, а также  нулями полиномов $Q_1(z)$ и $Q_2(z)$. Тогда   интеграл (\ref{A5-F}) может
быть вычислен по теореме Коши о вычетах, замыкая контур
интегрирования, поочередно, в левой ($r<1$) и правой ($r>1$) полуплоскостях. Далее, для простоты, наряду с отношением масс лептонов  $r$
  мы часто будем использовать квадрат их отношения, $t=r^2$.

   \vskip 0.2cm
%\subsection{Левая полуплоскость $t< 1$}\label{glava2A}
 %  {\it  \underline{Левая полуплоскость:} $t<1$.}

Функция  ${\cal F} (z) $
 имеет в левой полуплоскости полюсы при
 $z=$ $-1/2$, $-3/2$, $-5/2$, $-7/2$, $-9/2$, $-11/2$, $-13/2$, $-15/2$, $0,-1,-2,-3,-4, ..., -n, \; ...$ \ .
 Вычеты в  точках $z$ с отрицательными полуцелыми значениями
  $z=$ $-1/2$, $-3/2$, $-5/2$, $-7/2$, $-9/2$, $-11/2$, $-13/2$, $-15/2$
  вычисляются непосредственно как вычеты  в полюсах первого порядка.
  При отрицательных целочисленных значениях $z=-n$ вычеты при
   $z=0$, $-1$, $-2$, $-3$, $-4$, $-5$ также вычисляются непосредственно. Начиная с $z=-6$ мы находим вычеты
 с использованием соответствующих пакетов  "Wolfram Mathematica".

Результат применения теоремы Коши для интеграла (\ref{A5-F})  в {\it {левой
полу\-плоскости}} может быть представлен в виде разложения по степеням логарифма $\ln(t)$ и бесконечной суммы
\begin{eqnarray}
&& { {\ A}}_{2}^{(12),5 \ell}(t<1)=P_0(t)+P_1(t)\ln(t)+P_2(t)\ln^2(t)+P_3(t)\ln^3(t)
\nonumber \\
 &&~~~~~~~~+P_4(t)\ln^4(t)
+P_5(t)\ln^5(t)+P_6(t)\ln^6(t)+\sum_{n=6}^{\infty}U_1(n,t)t^n.
\label{A5A}
\end{eqnarray}

Полиномы     $P_n(t)$  по переменной  $t$ при степенях логарифмов $\ln^n(t)$ ($n=0...6$)
содержат также полилогарифмы ${\rm Li}_m(t)$ ($m=2 ... 6$) и
$\zeta(s)$-функции Римана ($\zeta(s)\equiv\sum_{n=1}^\infty  n^{-s} $,   $s=2\ldots 5$).
%$\zeta(2)=\pi^2/6$, $\zeta(3)$, $\zeta(4)=\pi^4/90$ и $\zeta(5)$.
Кроме того, степени логарифма  (до $3$-й степени включительно) и
полигамма-функция  $\psi^{(k)}(n)$  ( $k=1,\ldots 4$)  содержатся в функции $U_1(n,t)$
в (\ref {A5A}).

   \vskip 0.2cm

{\it {Правая полуплоскость: $t>1$.}}
%{\bf{ПРАВАЯ}}
Результат
применения теоремы Коши  в правой  полуплоскости, в которой
функция ${\cal F} (z)$  имеет бесконечное число полюсов при целых положительных значениях $z$
 ($z= 1,  2,  ... $)   может быть
представлен в следующем виде\footnote{Вычет в точке $z=1$ равен нулю. }
\begin{eqnarray}
&&{ {\ A}}_{2}^{(12),5 \ell}(t>1) = \; D_0(t)+D_1(t)\ln(t) +
D_2(t)\left[ {\rm Li_2}\left(\frac{1}{t}\right)\ln(t)+2 {\rm
 Li_3} \left(\frac{1}{t}\right)\right]
\nonumber \\
&&~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~ +\; D_3(t)\left[- {\rm
Li_2}\left(\frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}+1}\right)+{\rm
Li_2}\left(-\frac{\sqrt{t}-1}{\sqrt{t}+1}\right)
 \right]
 \nonumber \\
  &&
 ~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~ + \; D_4(t)\left[{\rm Li_2}\left(1-\frac{1}{t}\right)\right]
 \frac{1}{t}+\sum_{n=2}^{\infty}U_2(n,t)t^{-n}.
\label{A5B}
\end{eqnarray}
Структура  коэффициентов  $D_n(t)$ аналогична описанной выше структуре коэффициентов  $P_n(t)$, также как и
структура функции $U_2(n,t)$ аналогична структуре $U_1(n,t)$ в выражении (\ref{A5A}).

Ввиду громоздкости точных выражений для коэффициентов в  (\ref{A5A}) и (\ref{A5B}),
их явный вид здесь не приводится.
Мы только отмечаем, что расчеты по точным формулам были проверены на согласие с численными расчетами исходного интеграла
и с известным в литературе аналитическим выражением для частного случая, когда все лептоны одного сорта~\cite{Samuel-n-bubble} ($r=1$):
 \begin{equation} \label{A12iniv}
{{A}}_{1}^{(12)} =
\frac{428632663}{42987672}+\frac{19672
\;\pi^4}{1607445}-\frac{80\;\pi^6}{5103}+\frac{83360
\;\zeta(5)}{22113} =~3.4468727205\,... \times 10^{-4} \, .
\end{equation}


%#################################
\section{Асимптотические разложения}\label{numerical}

Для всех комбинаций   реально существующих лептонов (электрона, мюона и $\tau$-лептона)   отношения их масс     находятся либо в области $r  < 0. 06$, либо  $r > 16$.
Это позволяет использовать вместо точных выражений ${\ A}_2^{(12),5 \ell}(r)$ более простые асимптотические разложения,  сохраняя при этом конечное число членов разложения в соответствии  с желаемой точностью  результата.

Асимптотическое разложение, получаемое из (\ref{A5A}) при $r\ll 1$ ($t=r^2$) содержит часть, ${\cal A}_0 (r)$, независящую от порядка разложения, преобладающую в пределе  $r\to 0$:
\begin{eqnarray} &&
   {\cal A}_0 (r)=
  -\frac{16 }{243}\ln^{5} \! \left(r \right)-\frac{500 }{729}\ln^{4} \! \left(r \right)-
  \Bigg(\frac{6340}{2187}+
  \frac{80 \pi^{2}}{729}\Bigg) \ln^{3} \! \left(r \right) - \Bigg(\frac{43045}{6561}
   \nonumber\\  &&
+ \frac{80 \zeta \! \left(3\right)}{81}+
 \frac{500 \pi^{2}}{729}\Bigg) \ln^{2} \! \left(r \right)-
\left(\frac{323065}{39366}+\frac{1000 \zeta \! \left(3\right)}{243}+
\frac{3170 \pi^{2}}{2187}+\frac{4 \pi^{4}}{81}\right) \ln \! \left(r \right)
 \nonumber \\
 &&
 -\frac{2182775}{472392}-\frac{43045 \pi^{2}}{39366}-\frac{3170 \zeta \! \left(3\right)}{729}-\frac{40 \pi^{2} \zeta \! \left(3\right)}{243}-\frac{25 \pi^{4}}{243}-\frac{40 \zeta \! \left(5\right)}{27}. \label{A0}
 \end{eqnarray}
Отметим, что расходимость в этой формуле логарифмических  слагаемых  при $r\to 0$,  в принципе, не критична, поскольку в физической области отношений лептонных масс
($m_e/m_\tau\le r\le m_\mu/m_\tau)$
минимальное значение $r_{min}=r(m_e/m_\tau)\sim 3\cdot 10^{-4}$ и формула (\ref{A0}) даёт конечное значение.

Оставшаяся часть  разложения,  получаемое из (\ref{A5A}) при $r\ll 1$  уже зависит
от порядка разложения по $r$. Если ограничиться разложением до порядка $r^5$ включительно, то  полное  выражение для коэффициента ${\ A}_2^{(12),5 \ell}(r<1)$  будет иметь вид
\begin{eqnarray} \label{A5Aas}
&& {\ A}_{2,as}^{(12),5 \ell}(r<1) = {\cal A}_0 (r)+
\Bigg[\frac{7135}{110592} \pi^{6}-\frac{5591}{107163} \pi^{4}
\Bigg] r+\Bigg[ \frac{24620 \pi^{2}}{6561}+\frac{52 \pi^{4}}{81}
\nonumber \\
&&
  +
   \frac{6080 \zeta \! \left(3\right)}{243} + \frac{608480 \zeta \!
\left(5\right)}{27027}+ \frac{160 \pi^{2} \zeta \!
\left(3\right)}{81}+\frac{65771}{729729}+\frac{64 }{81}\ln^{5} \!
\left(r \right)+\frac{1040 }{243}\ln^{4} \! \left(r \right)
 \nonumber\\
 &&
 +\left(\frac{320 \pi^{2}}{243}+\frac{12160}{729}\right) \ln^{3} \!\left(r \right) +
\Big(\frac{1040 \pi^{2}}{243}+\frac{320 \zeta \!
\left(3\right)}{27}+ \frac{49240}{2187}\Big) \ln \! \left(r
\right)^{2}
\nonumber\\
 &&
 +\left(\frac{6080 \pi^{2}}{729}+\frac{16
\pi^{4}}{27}+\frac{2080 \zeta \! \left(3\right)}{81}+
\frac{265100}{6561}\right) \ln \! \left(r
\right)\Bigg]r^{2} -\Bigg[\frac{73925}{110592} \pi^{6}-\frac{50}{189} \pi^{4}\Bigg]
r^{3}
\nonumber\\
 &&
+\Bigg[\frac{108290 \pi^{2}}{6561}-\frac{124520 \zeta \!
\left(3\right)}{2187}+\frac{275 \pi^{4}}{243}- \frac{517040 \zeta \!
\left(5\right)}{18711}+
%
\frac{1220 \pi^{6}}{5103} +\frac{400 \zeta \! \left(3\right)^{2}}{27}
\nonumber \\
&&  -\frac{80 \pi^{2}
 \zeta \! \left(3\right)}{27}+
 %
 \frac{8035215035}{36374184}
 %  Р_5,6
 -\frac{32 \ln^{5} \! \left(r \right)}{27}+\left(\frac{400 \pi^{2}}{243}+\frac{5500}{729}\right)
\ln ^{4}\! \left(r \right) +\left(\frac{1600 \zeta \!
\left(3\right)}{81} \right.
%
\nonumber\\
&& \left. -\frac{160
\pi^{2}}{81}-\frac{249040}{6561}\right) \ln^{3} \! \left(r \right)
+\left(\frac{40 \pi^{4}}{27}-\frac{160 \zeta \! \left(3\right)}{9}+
\frac{5500 \pi^{2}}{729}+\frac{216580}{2187}\right) \ln ^{2} \! \left(r
\right)
 \nonumber \\
 &&+ \Big(\frac{800 \pi^{2} \zeta \!
\left(3\right)}{81}-\frac{124520 \pi^{2}}{6561} +\frac{11000 \zeta
\! \left(3\right)}{243}- \frac{8 \pi^{4}}{9}+ \frac{800 \zeta \!
\left(5\right)}{9}-\frac{4094030}{19683}\Big) \ln \! \left(r
\right)
 \nonumber \\
&& + \frac{160 \ln ^{6} \! \left(r \right)}{243}\Bigg] r^{4}- \left( {\frac {7\,{\pi }^{4}}{243}}+{\frac {10255\,{\pi }^{6}}{36864
}} \right) {r}^{5} +{\cal
{O}}\left(r^{6}\right).
 \label{Part2}
 \end{eqnarray}
Сравнение результатов, полученных из  точной формулы (\ref{A5A}) и асимптотической (\ref{A5Aas}) показывает, что в физической области $r$ относительная точность $\varepsilon =\Big| {\ A}_{2, as}^{(12),5 \ell}(r ) -  {\ A}_{2 }^{(12),5 \ell}(r) )\Big|/ {\ A}_{2 }^{(12),5 \ell}(r) $ не хуже, чем  $10^{-5}$.


В правой полуплоскости из формулы (\ref{A5B}) следует
\begin{eqnarray}
\label{A5Bas}
&& A_{2,as}^{(12), 5 \ell}(r\gg 1)  =\frac{1}{r^4}\left(\frac{23717113727}{10691463903120}+\frac{1216
\zeta(3)}{178605}-\frac{84100
\zeta(5)}{8729721}\right)
\nonumber \\
  &&
~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ +\frac{1}{r^6}\left(\frac{68782608619}{18710061830460}+\frac{3592 \zeta(3)}{1528065}-\frac{23840
\zeta(5)}{3741309}\right)
\nonumber \\
  &&
  ~~~~~~  ~~~ ~~~~
+
\frac{1}{r^8}\left(\frac{408567816029}{85120501074840}-\frac{120118
\zeta(3)}{229864635}-\frac{337720
\zeta(5)}{86050107}\right) \\
  &&+\frac{1}{r^{10}}\left(\frac{8649012016174547}{1793047592085750000}-\frac{8
\ln(t)}{50625}-\frac{102316 \zeta(3)}{59594535}-\frac{165824
\zeta(5)}{66927861}\right)
\nonumber
 \\[0.1cm]
  &&
~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~  ~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~  ~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~  + ~{\cal
{O}}\left({1}/{r^{12}}\right).
\nonumber
\end{eqnarray}

Отметим, что разложение (\ref{A5Bas}) содержит только четные
 степени $r$ и оно более компактно, по сравнению с (\ref{A5Aas}).   Также интересно отметить, что (\ref{A5Bas}) не содержит слагаемых с $\pi^2$-членами,
 т.е. $\zeta$-функций при четных значениях аргумента, хотя исходно в (\ref{A5B}) слагаемые, содержащие $\pi^2$, $\pi^4$ и $\pi^6$ присутствовали.



%\vspace{0.4cm}
%#################################
%\section{Численный анализ}\label{numerical}
%#################################


\begin{figure}[hbt]
\includegraphics[width=0.49\textwidth]{Fig2A_Solovtsova.eps}
\vspace*{-3mm}
\includegraphics[width=0.50\textwidth]{Fig2B_Solovtsova.eps}
\caption{Сравнение точных расчетов с результатами вычислений  по
асимптотическим  формулам. Левая панель для $r<1$, правая панель для $r>1$. Сплошная линия -- это точный результат, пунктирная кривая
соответствует асимптотическому разложению. Кружочками обозначены значения коэффициентов при реальных физических
массах лептонов для всех возможных комбинаций внутренних
$\ell$ и внешних $L$ лептонов.}
\label{RisAsymp}
\end{figure}

На Рис.~\ref{RisAsymp} приведено сравнение результатов расчетов, получаемых по точным формулам
с результатами  разложений при $r\ll 1$ (на рисунке слева) и $r\gg 1 $ (справа). Из этого
рисунка видно, что расчёты по приближённым асимптотическим формулам практически совпадают с расчетами по
точным в большом интервале переменной $r$, а именно, $(0<r<0.1)$ для
разложения вблизи $r\to 0$ и $(2<r< \infty)$ для разложения при
$r\gg 1$. Для реальных лептонов эти два интервала полностью
перекрывают все возможные значения $r=m_\ell/m_L$ при всех возможных
комбинациях масс внутренних $\ell$ и внешних $L$ лептонов, что
указывает на то, что асимптотические  разложения вполне могут
быть использованы не только для качественного, но и для
количественного анализа поправок к аномальному магнитному моменту
любого лептона ($e$, $\mu$ и $\tau$) c любыми лептонными вставками.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Table-2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{table}
[htbp] \addtolength{\tabcolsep}{-1.5pt}
\begin{center}
\caption{Значения коэффицента $A_{2,L}^{(12),5 \ell}(t=r^2) $ для
физических лептонов с учетом неопределенности их масс \cite{CODATA}.}
\vskip 0.2cm
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{$r<1$} \\
 \hline
~$ m_l/m_L$ & $ m_e/m_\tau$ & $ m_e/m_\mu$& $ m_\mu/m_\tau$
\\\hline
 ~$r$~ & $~0.000287585(19)~$&$~0.00483633169(11)~$ &~$0.0594635(40)~$
  \\ \hline
~$A_2$~ & $764,00(4)$&~$58.387811(1)$ ~ &$1.2589(4)$
  \\
\hline
\multicolumn{4}{|c|}{$r>1$} \\
 \hline ~$ m_l/m_L$ & $m_\tau/m_\mu$ &
$ m_\mu/m_e$& $ m_\tau/m_e$
 \\
\hline
 ~$r$~&~$16.8170(11)$~ &~$206.7682830 (46)$~&~
 $3477.23 (23)$~
  \\ \hline
~$A_2$~ & ~ $5.155(3)\cdot 10^{-9}$~ &~~ $2.2584123(2)\cdot 10^{-13}
~$~&~ $2.822(2)\cdot 10^{-18} ~$~
  \\ \hline
\end{tabular}
\label{02}
\end{center}
  \end{table}


Для полноты, в таблице  \ref{02} приведены результаты численных оценок коэффициента $A_{2,L}^{(12),5 \ell}(r)$ при
физических значения лептонных масс с учетом их погрешностей \cite{CODATA}.
%
Применительно к оценке вклада в аномальный магнитный момент мюона от поляризации вакуума пятью лептонными петлями следует подчеркнуть,
что в случае, когда все петли являются электронными, то вклад   $
A_{2,\mu}^{(12),5e }  \left( {\alpha}/{\pi} \right)^6$ является определяющим, поскольку составляет $\sim84.4 \%$ от общего вклада в $a_{\mu}$ от поляризации вакуума пятью лептонными петлями.


\section*{Заключение  }\label{summ}

В данной работе представлена структура точных аналитических выражений для поправок двенадцатого порядка к аномальным магнитным моментам
лептонов ($e$,~$\mu$~и~$\tau$) от фейнмановских  диаграмм со вставками поляризационного оператора, состоящего из пяти одинаковых лептонных петель. 
Подход основан на интегральном представлении Меллина--Барнса, применение которого позволило получить аналитические выражения для соответствующих
поправок во всем диапазоне  изменения отношения  массы лептона $\ell$ в петле к массе внешнего лептона $L$, $r=m_\ell/m_L$. 
Используя точные аналитические выражения легко получить численные значения соответствующих поправок  с любой наперед заданной точностью.
%
Из точных выражений впервые были получены более простые асимптотические разложения и
показано, что для реальных лептонов (электрона, мюона и $\tau$-лептона) расчет по точным вполне можно заменить на  вычисления по приближённым формулам при выборе числа членов разложения в зависимости от желаемой точности.


\section*{Финансирование работы}

Данная работа полностью финансировалась за счет средств бюджета Объединенного института ядерных исследований в рамках гранта сотрудничества между Объединенным институтом ядерных исследований и учреждениями Республики Беларусь в 2025 году.

\section*{Конфликт интересов}

Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.


%##################################################################

\begin{thebibliography}{1}
\def\selectlanguageifdefined#1{
\expandafter\ifx\csname date#1\endcsname\relax
\else\selectlanguage{#1}\fi}
\providecommand*{\href}[2]{{\small #2}}
\providecommand*{\url}[1]{{\small #1}}
\providecommand*{\BibUrl}[1]{\url{#1}}
\providecommand{\BibAnnote}[1]{}
\providecommand*{\BibEmph}[1]{\emph{#1}}
\ProvideTextCommandDefault{\cyrdash}{\hbox to.8em{--\hss--}}
\providecommand*{\BibDash}{\ifdim\lastskip>0pt\unskip\nobreak\hskip.2em\fi
\cyrdash\hskip.2em\ignorespaces}

\bibitem{dirac}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Dirac~P.A.M.} The quantum
theory of the electron ~// {Proc. Roy. Soc. Lond.  A} \BibDash
\newblock 1928. \BibDash
\newblock V.~117. \BibDash
\newblock P.~610 -- 624.

\bibitem{Jegerlehner:2017gek} %2
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Jegerlehner~F.}
The anomalous magnetic moment of the muon ~// Springer
Tracts Mod.\ Phys.\BibDash
\newblock 2017. \BibDash
\newblock V.~274. \BibDash
\newblock P.~1 -- 693.


\bibitem{Aoyama:2019ryr} %4
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Aoyama~T., Kinoshita~T.,
Nio~M.}   Theory of the anomalous magnetic moment of the electron
~// Atoms. \BibDash
\newblock 2019. \BibDash
\newblock V.~7. \BibDash
\newblock P.~1 -- 27.

\bibitem{Fan:2022eto}  %3
\selectlanguageifdefined{english}
\BibEmph{Fan~X., Myers~T.~G.,
Sukra B.~A.~D., Gabrielse~G.}
Measurement of the electron magnetic
moment ~// Phys. Rev. Lett.\BibDash
\newblock 2023. \BibDash
\newblock V.~130. \BibDash
\newblock P.~071801.

\bibitem{Muong-2:2025xyk}
\selectlanguageifdefined{english}
\BibEmph{Aguillard~D.~P. et al.}
[Muon $g-2$ Collaboration]
Measurement of the positive muon anomalous magnetic
moment to 127ppb ~// Phys. Phys. Rev.\BibDash
\newblock 2025. \BibDash
\newblock V.~135. \BibDash
\newblock P.~101802.

\bibitem{Aliberti:2025beg}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{AlibertiR et al.} The anomalous magnetic moment of the muon in the
Standard Model: an update ~// Phys. Rept.\BibDash
\newblock 2025. \BibDash
\newblock V.~1143. \BibDash
\newblock P.~1-188.

\bibitem{Gabrielse:2025jep}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Gabrielse~G.,
Venanzoni~G.} Measured lepton magnetic
 moments \BibDash
 arXiv:2507.11268 [hep-ex].

\bibitem{Laporta2000}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Laporta~S.}
High-precision calculations of multiloop Feynman integrals by
difference
  equations ~//
J.  Mod. Phys. A.\BibDash
\newblock 2000. \BibDash
\newblock V.~15. \BibDash
\newblock P.~5087-5159.

\bibitem{LaportaPLB}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Laporta~S.}
High-precision calculations of the 4-loop contribution to the
electron $g-2$ in QED ~//
Phys. Lett. B.\BibDash
\newblock 2017. \BibDash
\newblock V.~772. \BibDash
\newblock P.~232-238.

\bibitem{Volkov:2024yzc} %40
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Laporta~S.} Calculation
of the total 10th order QED contribution to the electron magnetic
 moment ~//
Phys. Rev. D.\BibDash
\newblock 2024. \BibDash
\newblock V.~110. \BibDash
\newblock P.~036001.

\bibitem{Aoyama:2024aly}
\selectlanguageifdefined{english}
\BibEmph{Aoyama~T., Hayakawa~M.,
Hirayama~A.,  Nio~M.}
Verification of the tenth-order QED contribution to the anomalous
magnetic moment of the electron from diagrams without fermion
     loops ~// Phys.\ Rev.\  D. \BibDash
\newblock 2025. \BibDash
\newblock V.~111. \BibDash
\newblock P.~L031902.


\bibitem{Aguilar:2008qj}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Aguilar~J.P., Greynat~D.,
Rafael~E.}  Muon anomaly from lepton vacuum polarization and the
Mellin-Barnes representation ~//
Phys.\ Rev.\  D. \BibDash
\newblock 2008. \BibDash
\newblock V.~77. \BibDash
\newblock P.~093010.

\bibitem{Solovtsova23}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Solovtsova~O.P.,
Lashkevich~V.I., Kaptari~L.P.} Lepton anomaly from QED diagrams with
vacuum polarization insertions within the Mellin\textendash{}Barnes
representation ~//
 Eur.\ Phys.\ J. Plus. \BibDash
\newblock 2023. \BibDash
\newblock V.~138. \BibDash
\newblock P.~212.

\bibitem{Solovtsova-Vesti}
\selectlanguageifdefined{russian}
\BibEmph{Лашкевич В.И., Соловцова О.П., Каптарь Л.П.} Аналитические расчеты
электромагнитных поправок пятого порядка к аномальному магнитному
моменту лептонов в представлении Меллина--Барнса~//
Изв. Нац. акад. наук Беларуси. Серия физ.-мат.
наук \BibDash
\newblock 2023. \BibDash
\newblock том.~59. \BibDash
\newblock C. 338-351.

\bibitem{Solovtsova-2024}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph {Solovtsova~O.P., Lashkevich~V.I., Kaptari L.P.} Analytical
calculations of the  tenth order QED radiative corrections to lepton
anomalies within the Mellin--Barnes representation // J.
Phys. G: Nuclear and Particle Physics
 \BibDash
\newblock 2024. \BibDash
\newblock V.~51. \BibDash
\newblock P.~055001.

\bibitem{Solovtsova-2024-31}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph {Solovtsova~O.P., Lashkevich~V.I., Kaptari L.P.} Tenth order QED Correction to the Lepton Anomaly Due to Some Bubble Diagrams // J. Nonlinear Phenomena in Complex Systems
 \BibDash
\newblock 2024. \BibDash
\newblock V.~27. \BibDash
\newblock P.~386-397.

\bibitem{Solovtsova-2024-13}
\selectlanguageifdefined{russian}
\BibEmph{Соловцова О.П., Лашкевич В.И., Каптарь Л.П.} Аналитические расчеты вкладов в аномальные магнитные моменты лептонов от поляризации вакуума лептонными петлями на основе представления Меллина—Барнса~//
ЭЧАЯ \BibDash
\newblock 2025. \BibDash
\newblock том.~56. \BibDash
\newblock C. 414–430.
%[Physics of Particles and Nuclei. – 2025. –Vol. 56, No. 2. – Р. %259–268. © Pleiades Publishing, Ltd., 2025].

\bibitem{review-2021}        %3%
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Aoyama~T. et al.} The
anomalous magnetic moment of the muon in the Standard Model ~// Phys.\
Rep.\BibDash
\newblock 2020. \BibDash
\newblock V.~887. \BibDash
\newblock P.~1--166.

\bibitem{Schwinger}
\selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Schwinger~J.S.}      %8
 On Quantum electrodynamics and the magnetic moment
of the electron ~//  Phys.\ Rev. \BibDash
\newblock 1948. \BibDash
\newblock V.~73. \BibDash
\newblock P.~416--417.

\bibitem{Samuel-n-bubble}  %20
 \selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{Laursen M.~L., Samuel M.~A.}
The n-bubble diagram contribution to $(g
-2)$ of the electron. Mathematical structure of the analytical
expression //  Phys. Letts. B.\BibDash
\newblock 1980.\BibDash
 \newblock V.~91.\BibDash
 \newblock P.~249--252.

\bibitem{CODATA}
 \selectlanguageifdefined{english} \BibEmph{
Tiesinga E., Mohr P.J., Newell D.B.,  Taylor B.N.}
CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018.
// Rev. Mod.  Phys.
\BibDash
\newblock 2021. \BibDash
\newblock V.~93. \BibDash
\newblock P.~025010.
\end{thebibliography}

\end{document} 